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7.3　在咖啡店谈二项式定理

7.3　在咖啡店谈二项式定理

在电车车站前那家店名叫“豆子”的咖啡店，我们边喝咖啡，边把数学公式展开。

比如说，有一个这样的公式。

(x+y)^2=x^2+2xy+y^2

“是的。嗯……这是关于 x 和 y 的恒等式。”

嗯，这个式子表示将 x + y 平方后所变成的形式。以下为 x + y 的三次方的形式。

(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3

虽然算到这里就可以了，但我们还是试着将这个指数进行一般化看看。也就是说，不是光算平方、三次方之类的数学公式，而是计算“n 次方的数学公式”，也就是求 (x + y)n 的展开式。

问题 7-2

设 n 为正整数，将以下式子展开。

(x+y)^n

首先，在进行一般化之前，先整理一下自己所掌握的具体知识吧。我们先列出一些具体例子，观察一下其结果。这么做还可以确认自己是否真正理解了题目的意思。“举例是理解的试金石”嘛。将 n 为 1, 2, 3, 4 的情况分别代入 (x + y)n 进行计算，得到下面的式子。

$\begin{aligned}(x+y)^1&=x+y\\(x+y)^2&=x^2+2xy+y^2\\(x+y)^3&=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\\(x+y)^4&=x^4+4x^3y+6xx^2y^2+4xy^3+y^4\\\end{aligned}$

然后，进入到一般化的步骤。现在我们要求的是以下式子。

$(x+y)^n=x^n+\cdots+y^n$

我们知道 xn 和 yn 这两项一定会出现。接着只要在 xn 与 yn 之间省略号的地方填上恰当的项就可以了。

“我背不出来，不好意思啊。”泰朵拉说。

啊？不是，不是靠背的哦。不是让你回想背过的公式，而是让你思考。思考怎么推导出公式。

我们来这样思考。

“这个我可以理解。(x + y)n 就是将 (x + y) 连续相乘 n 次后所得的式子。”泰朵拉说。

是的。另外顺便说一句，将 n 个 (x + y) 相乘的时候，因为是一个个 (x + y) 的式子，问题也就变为选择 x 或 y 中的某一个分别进行乘法计算了。比如说，运算三次方的时候，分别从三个并排的 (x + y) 之中选择 x 或 y 中的某一个进行乘法计算。为了考虑到所有可能的选择方式，我们将选中的 x 和 y 用圆圈圈出来。

$\begin{aligned}(\textcircled{\emph{x}}+y)(\textcircled{\emph{x}}+y)(\textcircled{\emph{x}}+y)\quad&\to\quad xxx=x^3\\(\textcircled{\emph{x}}+y)(\textcircled{\emph{x}}+y)(x+\textcircled{\emph{y}})\quad&\to\quad xxy=x^2y\\(\textcircled{\emph{x}}+y)(x+\textcircled{\emph{y}})(\textcircled{\emph{x}}+y)\quad&\to\quad xyx=x^2y\\(\textcircled{\emph{x}}+y)(x+\textcircled{\emph{y}})(x+\textcircled{\emph{y}})\quad&\to\quad xyy=xy^2\\(x+\textcircled{\emph{y}})(\textcircled{\emph{x}}+y)(\textcircled{\emph{x}}+y)\quad&\to\quad yxx=x^2y\\(x+\textcircled{\emph{y}})(\textcircled{\emph{x}}+y)(x+\textcircled{\emph{y}})\quad&\to\quad yxy=xy^2\\(x+\textcircled{\emph{y}})(x+\textcircled{\emph{y}})(\textcircled{\emph{x}}+y)\quad&\to\quad yyx=xy^2\\(x+\textcircled{\emph{y}})(x+\textcircled{\emph{y}})(x+\textcircled{\emph{y}})\quad&\to\quad yyx=y^3\end{aligned}$

这样就罗列出了所有乘法组合的可能性。把这些项都加起来。

$\begin{aligned}&xxx+xxy+xyx+xyy+yxx+yxy+yyx+yyy\\=&x^3+x^2y+x^2y+xy^2+x^2y+xy^2+xy^2+y^3\end{aligned}$

即

x^3+3x^2y+3xy^2+y^3

这就是所要求的式子。(x + y)(x + y)(x + y) 这个“先相加再相乘”的式子变成了 x^3+3x^2y+3xy^2+y^3 这个“先相乘再相加”的式子。这就是公式的展开。反过来将“先相乘再相加”的式子变成“先相加再相乘”的式子就是因式分解了。

“嗯，我明白了。xxx, xxy, xyx, ... , yyy 这几项在排列上好像也有一定的规律啊。”她说。

嗯，确实是，泰朵拉真是一针见血啊。

她害羞地嘿嘿笑着，吐了吐舌头。

那么，我们再往下计算吧。从 n 个 (x + y) 中选择 x 或者 y 中的一个。如果“全都选择 x 进行相乘”的话，有几种组合的可能性呢？

“嗯，因为全都选择 x，所以只有一种组合的可能性吧。”她答道。

是啊。如果“选择 n - 1 个 x，一个 y 进行相乘”的话，会有几种组合的可能性呢？

“嗯，我们可以从最右边的一个式子中选择 y，剩下的其他式子都选择 x；我们也可以从右数第二个式子中选择 y，剩下的其他式子都选择 x……以此类推都可以，一共有 n 种组合的可能性。”她说。

对的，完全正确！接着，我们进行一般化。如果“选择 n - k 个 x，k 个 y 进行相乘”的话，会有几种组合的可能性呢？

“让我想想哦。嗯，n 是指 n 个 (x + y) 相乘吧，k 是指什么呢？”她问道。

问得好！ k 是为了进行一般化计算而引入的变量，表示选择的 y 的个数。k 是整数，满足 0 ≤ k ≤ n 这个条件。刚才我就问了当 k = 0（全部选择 x 进行相乘）时的情况和 k = 1（选择 n - 1 个 x，一个 y 进行相乘）时的情况。

“哈哈。那么这就是从 n 个东西中选择 k 个时所有情况的个数吧。因为选择的顺序是已经规定好的，所以就要进行组合，是这样吧？”她说。

嗯，是的，就是组合。选择 k 个 y，n - k 个 x 时，可以用以下式子来表示这个组合。

$\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=\frac{(n-0)(n-1)\cdots(n-(k-1))}{(k-0)(k-1)\cdots(k-(k-1))}$

这个数字就是 $x^{n-k}y^k$ 的系数。

“学长，我有问题。”泰朵拉把右手举得高高的，“ $\binom{n}{k}$ 是什么呀？组合是指 nCk 吧。如果是这样的话，我是明白的。”

啊， $\binom{n}{k}$ 和 nCk 完全一样。我经常看到数学书中把组合写成 $\binom{n}{k}$ 的形式。对了，矩阵和矢量也用和 $\binom{n}{k}$ 相似的形式来表示，虽然它们和组合毫无关系。

“嗯，我明白了。我还有一个问题，我记得组合的公式是

$_nC_k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

这个式子和学长所写的式子有所出入啊。”

没有，将 (n - k)! 的部分进行约分后你就会发现，其实这两个式子是一样的。比如你考虑一下从５个东西中选出３个时的组合情况……

你看，是一样的吧。

在表示组合时使用下降阶乘幂的话，式子会变得更简单。下降阶乘幂是指将含有 $x^{\underline{n}}$ 的式子改写成沿着 n 阶阶梯逐步下降的乘积形式，也就是可以变成这样的形式。

可以将普通的阶乘 n! 写成下面这样的下降阶乘幂形式。

$n!=n^{\underline{n}}$

运用了下降阶乘幂后， $\binom{n}{k}$ 就可以写得更漂亮些了。

$\binom{n}{k}=\frac{n^{\underline{k}}}{k^{\underline{k}}}$

从 n 个东西中选出 k 个时组合的个数

$\begin{aligned}_nC_k&=\binom{n}{k}\\&=\frac{n!}{k!(n-k)!}\\&=\frac{(n-0)(n-1)\cdots(n-(k-1))}{(k-0)(k-1)\cdots(k-(k-1))}\\&=\frac{n^{\underline{k}}}{k^{\underline{k}}}\end{aligned}$

“嗯……”泰朵拉好像不太明白。

啊，对不起。我岔开话题了，言归正传。我们刚才快求到 (x + y)n 的展开式了吧。为了更容易看出其中的规律，我们将式子写得具体一些，可能会有点冗长。

我们关注一下各项中变形的部分，如果用 $\sum$ 来表示，就可以得到以下式子，这个式子称为二项式定理。

解答 7-2　(x + y)n 的展开式（二项式定理）

$(x+y)^n=\sum^n_{k=0}\binom{n}{k}x^{n-k}y^k$

最初我看到这个展开式，怎么都背不下来。但是，当我亲手把这个公式推导出来后，我发现要背出这个公式也并不困难。如果平时练习自己推导公式的话，在不知不觉中就会记住这些公式，一旦有紧急情况，就没有推导的必要，可以直接写出公式了。我觉得这种说法虽然是一种反论，但还是非常有意思的。

“学长……有 $\sum$ 这个符号后，我突然觉得变难了。”

如果你觉得这么写让你感到不安，可以将用 $\sum$ 来表示的项一一列举出来。这个方法很重要，一直写到自己习惯为止。

“嗯，话虽如此，‘组合’竟然是在这种情况下出现的啊。在学习概率的时候，选择白球和红球的组合问题，我记得我算了很多乘法运算呢，好像是进行了约分的练习。但是，像这样进行公式展开，然后算出组合数的方法我还从不知道。”泰朵拉说。

好了，接下来就是验算了。我们先思考具体例子，然后进行了一般化计算。一般化后一定需要验算。如果不验算的话不可以哦。这里我们就用 n = 1, 2, 3, 4 代入验算吧。

$\begin{aligned}(x+y)^1&=\sum^1_{k=0}\binom{1}{k}x^{1-k}y^k\\&=\binom{1}{0}x^1y^0+\binom{1}{1}x^0y^1\\&=x+y\\\quad\\(x+y)^2&=\sum^2_{k=0}\binom{2}{k}x^{2-k}y^k\\&=\binom{2}{0}x^2y^0+\binom{2}{1}x^1y^1+\binom{2}{2}x^0y^2\\&=x^2+2xy+y^2\\\quad\\(x+y)^3&=\sum^3_{k=0}\binom{3}{k}x^{3-k}y^k\\&=\binom{3}{0}x^3y^0+\binom{3}{1}x^2y^1+\binom{3}{2}x^1y^2+\binom{3}{3}x^0y^3\\&=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\\\quad\\(x+y)^4&=\sum^4_{k=0}\binom{4}{k}x^{4-k}y^k\\&=\binom{4}{0}x^4y^0+\binom{4}{1}x^3y^1+\binom{4}{2}x^2y^2+\binom{4}{3}x^1y^3+\binom{4}{4}x^0y^4\\&=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4\end{aligned}$

泰朵拉把数字代入式子一一确认后频频点头，说：“我看到公式中出现了那么多字母，一开始想‘哇，这么麻烦啊’，但一想到这就是一般化后的结果，不知道怎么的就觉得还能接受。增加那么多字母也是没有办法的。”

嗯，比起准备无数个具体的公式，我们只要准备一个引入 n 这个变量的公式就好了。这就是一般化的公式。各项也引入了 k 这个变量来表示一般化的公式。

“是啊，但是……n - k 啦 k 啦这样的变量乱七八糟的，背起来好像很困难。”她说。

不要把 n - k 和 k 分开来考虑，而是要把它们想成是“它们的和为 n”。然后，这个和的平衡点由 0 到 n 进行变化。开始的时候 x 的指数为 n，指数最大，这时 y 的指数为 0，指数最小。x 的指数每次减少 1，y 的指数就每次增加 1。到最后，x 的指数变为了 0，指数最小，y 的指数变为了 n，指数最大。我是这样考虑的。k 就是现在平衡点的位置。

$\begin{aligned}k=0\qquad\quad~~ &x~~x~~x~~x~~x~~x~|\\k=1\qquad\quad~~ &x~~x~~x~~x~~x~|~y\\k=2\qquad\quad~~ &x~~x~~x~~x~|~y~~y\\k=3\qquad\quad~~ &x~~x~~x~|~y~~y~~y\\k=4\qquad\quad~~ &x~~x~|~y~~y~~y~~y\\k=5\qquad\quad~~ &x~|~y~~y~~y~~y~~y\\k=6\qquad\quad |~&y~~~y~~y~~y~~y~~y\end{aligned}$

“哈哈，这个平衡点就这样从 x 开始一点一点地朝 y 的方向移动吧？”她问。

正是如此。指数全部加起来为 n 次方，然后分别分摊到 x 和 y 的指数上，就像把围巾分成两半。

“学……学长！我们回到原来的话题吧。”泰朵拉提醒道。

7.3 在咖啡店谈二项式定理

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