费马大定理：困扰人类358年

3 费马大定理：困扰人类358年

一只下了358年金蛋的鹅。

“这里太小，我写不下。”费马这句话犹如塞壬之歌 1一般，三百多年来，蛊惑了无数数学天才，他们义无反顾地向这个定理发起挑战，但最终都无功而返。

跨越几个世纪的追寻，从欧拉到高斯，从热尔曼到狄利克雷，从拉梅到柯西，从库默尔到里贝特，甚至运用超级计算机日夜不停地运算……

直到1995年，怀尔斯站在百叶窗下，翻动《数学年刊》第141卷上最新的两篇文章——《模形椭圆曲线和费马大定理》与《某些赫克代数的环理论性质》，冷静地回味着他对全世界说的话：“让我们就在这里结束吧。”

358年的智者接力，到达终点。

数学界第一“民科 2”费马

这场接力赛的枪声最早响于17世纪，是由“民科”费马躲在鼠疫肆虐的法国审判庭里打响的。费马家境殷实，却天生小气；他口含金钥，却从不挥霍；他生性孤僻，却又希望流芳百世；他自命不凡，又谨小慎微；他热衷挑衅，出了事却只会一味躲避。

正是这种矛盾的性格，导致他虽然热爱数学，却听了父亲的话考了公务员，并且认认真真地当上了大法官，在当时也算光耀门楣，为世人羡慕。但这个大法官并不称职，他整天研究数学，脑洞大开地发现了各种数学命题，不知道他在这个职位上时，出现过多少次“冤假错案”。

作为“民科”的费马，其实是一个非常严谨的人。他做起题来滴水不漏，论证逻辑也有条不紊。不过他也有一个极大的毛病：不提供任何相应证明，令人看了云里雾里，心痒难耐。同时代的不少人都恨极了费马的这种姿态，如近代哲学奠基人、数学家笛卡儿就对此愤怒不已，嘲讽费马是个“牛皮匠”。

而这个“牛皮匠”还真的不是浪得虚名。1637年的某天，他就以玩世不恭的姿态向全世界吹了一个最大的牛。那天午后，在自家小院里翻看丢番图著作《算术》的费马，突发奇想地对书中的毕达哥拉斯定理x2+y2=z2进行了推广：

他发现毕达哥拉斯公式存在着无穷的正整数解，但稍微把公式改一下，就找不出一个正整数解。由此，费马大胆地提出了一个猜想：xn+yn =zn ，对于大于2的整数n没有正整数解。

而这个猜想具体如何证明，费马没有给出，他在那本《算术》的空白处留下了一句世纪名言：“对此我已经找到了一个绝妙的证明方法，只不过此书空白处太小，我写不下，就不写了。”没想到的是，费马懒得动笔的小事，日后竟困扰人类358年。

此后，这猜想就像一只会孵金蛋的鹅，一直从17世纪孵到了20世纪，直接贯穿了人类近现代数学史，并成功地为“民科”费马赢得了“业余数学家之王”的称号。

史上惨淡的三世纪

费马提出了费马猜想之后，各路数学高手争相出手，谁知道证明了一百年也没有答案。对此，18世纪的数学巨人欧拉产生了极大的兴趣。于是，他把对费马猜想的证明提上了自己的人生日程。

天才一出手，就知有没有。很快，欧拉发现了一条隐藏在费马注记里的线索，即无穷递降法 3。其以无穷递降法为出发点，成功证明了n=3时不存在正整数解，却无法证明此结论对任何指数n都适用。

好在欧拉已取得首次突破，需要继续做的是证明下面的无限多个方程没有正整数解：

然而，数学家们取得的进展非常缓慢，直到19世纪初，女数学家热尔曼冒险突破时代的性别束缚，才让费马猜想重新活跃了起来，证明了当n和2n+1都是素数时，费马猜想的反例x，y，z至少有一个是n的整倍数。

在此基础上，1825年，德国数学家狄利克雷证明了n=5时费马猜想成立。紧接着，1839年，法国数学家拉梅对热尔曼方法做了进一步改进，并证明了n=7的情形。继欧拉之后，人类终于证明在n=5和n=7的情况下，费马猜想是成立的。

1847年是令人兴奋的一年，拉梅和柯西都向科学院递交了盖章密封的信封，宣称完整地证明了费马猜想。这两个数学家默契地借助了“唯一因子分解”的性质，即对于给定一个数，只有一种可能的素数组合，它们乘起来等于该数。例如，对于数18来说，唯一的素数组合是18=2×3×3。

不过，这很快被苛刻的库默尔发现了一个致命的缺陷，虽然唯一因子分解对实数是正确的，但引进虚数后它就不一定成立了。拉梅和柯西最终惨败，这是一个黑暗的时刻，因为刚刚亮起的曙光又熄灭了。

尽管后来库默尔由此提出“理想数”概念，开创了代数数论，并运用独创的“理想素数”理论证明了费马猜想对100以内除37、59、67以外的所有奇数都成立，但是对任一大于2的整数n成立吗？

整整两百多年，每一次数学家试图重新发现费马猜想的通用证明都以失败告终。即使是到1985年，人类甚至已经发明了超级计算机，证明在4100万次方以下费马猜想都成立，但那又如何，再在后面加一个1，那个数字对于费马猜想是否成立？不知道，这就是费马猜想的难处。大于2的正整数是无穷无尽的，将一个个数进行证明，是如何证明也证明不完的。

就这样一筹莫展了三个世纪，众多数学家的热情也被打击得消失殆尽了。也许费马自己也没有办法证明，只在那里瞎吹牛。还是去研究点有实用性的东西吧！单纯的数学家们开始学乖了。

大定理和谷山-志村猜想

当大家慢慢忘却费马猜想时，一件轶事让费马猜想重获新生。1908年，富二代保罗·沃尔夫斯凯尔饱受情伤，决定午夜12点自杀，结果写完遗嘱后因无事可做算起了费马猜想。他这一算错过了自杀的“良辰吉日”，索性就不自杀了。为了报答这救命之恩，他把身家财产大部分留给了费马猜想，并宣称：谁要证明了这一难题，钱全部归他！

重赏之下，必有智者。20世纪，又是一股费马热浪来袭。当时全世界的数学业余爱好者和一些妄人都试图解决这个问题，但很可惜，费马猜想只是变得越来越著名，而想证明它似乎仍遥遥无期。

直到1997年，英国数学家怀尔斯教授成功地获得了奖金，但这已经是几十年之后的事情了。

说起怀尔斯与费马猜想的机缘，也是有心栽花花不开，无心插柳柳成荫。无数专门研究数论的大家都没赢得这个智力游戏，反而是怀尔斯这个数论里的外行人最终赢得了胜利。

怀尔斯生平主要研究一种称为椭圆曲线 4的学问，有人可能不太理解，费马猜想和椭圆曲线有什么关系？以X3+Y3=Z3为例，我们可以做这样的初等变换：

将上式代入费马方程得：

瞧，这一下就变成了椭圆曲线！现在，我们知道原来的方程没有非平凡解（所谓平凡解，就是允许X，Y，Z其中一个数是0），所以这相当于说上面的椭圆曲线方程只有显然的有理数解(12,36)和(12,-36)。

但熟悉椭圆曲线和费马猜想的转换仅仅是一张“入场券”，这一点欧拉和高斯早已各自提供了证明方法。关键还在于如何证明椭圆曲线和模形式 5之间是一一对应的关系，反过来间接地证明费马猜想。由此，证明谷山-志村猜想 6成了证明费马猜想的关键一环。

其实早在1985年，数学家弗雷就曾指出“谷山-志村猜想”和费马大定理之间的关系。他提出：假定费马猜想不成立，即存在一组非零整数a、b、c使得an+bn =cn (n>2) ，那么用这组数构造出的形如 y 2 =x( x+an )( x−bn )的椭圆曲线不可能是模曲线。弗雷命题和谷山-志村猜想矛盾，但如果能同时证明这两个命题，根据反证法就可以知道费马猜想不成立，这一假定是错误的，从而证明费马猜想。1986年，肯·里贝特成功证明了弗雷命题，但他像大多数人那样悲观地认为自己无论如何也无法攻克谷山-志村猜想。

乐天派怀尔斯恐怕是地球上少数敢在白天做梦的人，他看里贝特已经证明了弗雷命题，认为这已经到了攻克费马定理的最后阶段了。重要的是，这还恰好是他的研究领域。他二话不说，把自己关在小黑屋里八年，专心孵化这颗世上最难孵的金蛋。

踩在巨人的肩膀上，怀尔斯先机智地把欧拉、热尔曼、柯西、拉梅、库默尔等人的工作全研究了一遍，然后展开题海战术，把椭圆曲线和模形式所有的既有研究成果复习了一番。

最终，他巧妙地利用了19世纪悲剧天才伽罗瓦的群论作为证明谷山-志村猜想的基础，突破性地将椭圆方程拆解成无限多个项，证明了每一个椭圆方程的第一项可以与一个模形式的第一项配对。

1991年夏天，怀尔斯将当时最前沿的科利瓦金-弗莱切方法应用于各种椭圆方程的求解之中，证明了更新、更大族的椭圆曲线也一定可模形式化。沿着这一思路，怀尔斯认为自己解决了费马猜想，并把这个消息公之于众。听闻费马猜想被证明，全世界都为之沸腾。但在最后的论文审核时，数学家凯兹指出证明中关于欧拉系的构造有严重缺陷，这是证明中的一个大漏洞。以为自己可以就此休息的怀尔斯只好思考用其他方法来解决这个漏洞。1994年9月，怀尔斯想起了自己当初先用岩泽理论未能突破，而后才用科利瓦金-弗莱切方法试图解决这一问题。既然单靠其中某一种方法不足以解决问题，那何不将两者结合起来试试？问题解法就是这样，岩泽理论与科利瓦金-弗莱切方法结合在一起可以完美地互相补足，再也没有任何漏洞了。

当所有人都认为怀尔斯不可能证明费马猜想时，怀尔斯最终绝地逢生。1995年，他终于证明了谷山-志村猜想和困惑了世间智者358年的费马猜想。

椭圆曲线加密法费马大定理最成功的金蛋

三百多年的跌跌撞撞，走走停停，怀尔斯最终结束了数学史上这场最为漫长的接力赛。看着费马猜想被证明，终于可以被称为费马大定理，最不开心的恐怕是19世纪“数学界的无冕之王”希尔伯特（Hilbert）7了。当他还在世时，有人问他为什么不证明费马猜想，他曾反问：“为什么要干掉那只下金蛋的老母鸡呢？”在他看来，费马猜想为人类数学界立下了汗马功劳，很多数学家在证明费马猜想时创立了许多新的数学理论。现在怀尔斯这个“凶手”干掉了这只“母鸡”，不知道希尔伯特作何感想。

其实希尔伯特也不用伤心，因为这只“母鸡”即使被证明了，到今天仍能够孵蛋。其中，椭圆曲线就是那颗“金蛋”。2008年，费马大定理在非对称加密领域再现神迹。密码学朋克们将椭圆曲线加密法（Elliptic Curve Cryptography，ECC）应用于比特币，使比特币成为数学上牢不可破的“数字黄金”，开创了密码安全史上的新篇章。

作为一种非对称加密技术，ECC利用椭圆曲线等式的特殊性质来产生密钥，而不是采用传统的方法，即利用大质数的积来产生。相比之下，基于大整数因子分解 8问题的RSA算法 9，有着单位长度较长，计算效率低等缺点；而作为因子的两个素数若长度越短，被反破解的可能就越大。另外，黎曼猜想一旦得证，还可能派生出攻击RSA公钥加密算法的规律。

而ECC克服了RSA算法的一些缺陷，其运行机制非常巧妙，将加密问题转换为椭圆曲线方程在有限域中的阿贝尔群 10，从而利用群论中阿贝尔群计算问题，采取公私钥和双密钥相结合的方式进行加密或解密。

椭圆曲线通常用E表示，常用于密码系统的基于有限域GF(p)上的椭圆曲线是由方程：

所确定的所有点(x, y)组成的集合，外加一个无穷远点O。其中a，b，x， y均在GF(p)上取值，且有4 a 3+27 b 2 ≠0 ，p是大于3的素数。通常用Ep(a, b)来表示这类曲线。

对比常见的椭圆曲线方程y2 =x3+ax+b ，会看到这只是对原式进行了简单的取模处理，但以椭圆曲线y2 =x3−x+1的图像为例，图3-1是y2 =x3−x+1在实数域上的椭圆曲线。

图3-2则是椭圆曲线y2 =x3−x+1对素数97取模后的图像。

显然，相比于图3-1，会发现引入有限域上的椭圆曲线图3-2基本已面目全非，原本连续光滑曲线上的无限个点变成了离散的点，不过依然可以看到它是关于某条水平直线对称的。而这正符合密码学所要求的有限点和精确性。

目前，尚不存在多项式时间 11算法求解椭圆曲线上的离散对数 12问题，因而建立在求解离散对数问题困难性上的椭圆曲线密码体系（ECC）安全性极高，其地位已逐步取代RSA等其他密码体系，成为密码学的新生巨星，是日后非常重要的主要公钥加密技术。

结语358年孵蛋的意义

数学家们花了几百年证明费马大定理有意义吗？

多少世纪以来，不断有数学家向“不可能”的费马大定理发出战书，有的因为能力有限早早放弃，有的倾其一生也只看清楚一鳞半爪，最终连万能的计算机也无可奈何。

在这个过程中，很多人都知道，也许一年又一年地耗下去依然得不到一个结果，成千上万个方程可能也得不出一个解。但他们最终还是向永恒发起了挑战，即使计算机已宣布放弃，这些人依然觉得自己可以解决这个难题，这就是人类的坚强和韧性。

回望这三百多年，人类每一次都用尽全力地追寻，虽然未能抵达终点，却扩充了“整数”的概念，扩展了“无穷递降法”、虚数和群论的应用，催生出库默尔的“理想数论”，促成了莫德尔猜想 13，证明了谷山-志村猜想，加深了对椭圆方程的研究，找到了微分几何在数论上的生长点，发现了伊利瓦金-弗莱切方法与伊娃沙娃理论的结合点，推动了数学的整体发展……

一部波澜壮阔的数学史由此徐徐展开，这是一场智者征服世间奥秘的接力赛，而信仰和追寻就是这场接力赛的最大意义。毕竟，正是因为有了一群仰望星空的人，人类才有了希望。

1 塞壬之歌：塞壬是希腊神话中女人面孔鸟身的海妖，其拥有极为美丽的歌喉，路过的航海者常因无法抵御塞壬诱惑的歌声，开船前往，最终使航船触礁沉没。

2 民科：我国体制外、非官方的民间科学家，是自称民间科学爱好者的一类群体的简称。

3 无穷递降法：证明方程无解的一种方法。其步骤为：假设方程有解，并设X为最小的解。从X推出一个更小的解Y，从而与X的最小性相矛盾。所以，方程无解。

4 椭圆曲线：数学中性质极其丰富的一类几何对象，它深刻联系了数学的各个分支，与著名的费马猜想有着密切联系。

5 模形式：某种数论中用到的周期性全纯函数。

6 谷山-志村猜想：1955年，在东京举行的一个学术会议上，日本青年数学家谷山丰和志村五郎提出了一个椭圆方程的模形式化猜想。一个椭圆方程的E-序列一定和一个模形式的M-序列完全对应。

7 希尔伯特：1862—1943年，德国著名数学家，主要研究了不变量理论、代数数域理论、几何基础、积分方程、物理学、一般数学基础等，并在对积分方程的研究中提出了著名的“希尔伯特空间”。同时，他还是一位正直的科学家，在第一次世界大战、第二次世界大战中均公开反对战争。

8 大整数因子分解：在数学中，其又称素因数分解，是将一个正整数写成几个约数的乘积。例如，给出45这个数，它可以分解成9×5。根据算术基本定理，这样的分解结果应该是独一无二的。这个问题在代数学、密码学、计算复杂性理论和量子计算机等领域中有重要意义。

9 RSA算法：一种非对称加密算法，在公开密钥加密和电子商业中被广泛使用。1977年，该算法由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出。对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。换言之，对极大整数做因数分解越困难，RSA算法越可靠。

10 阿贝尔群：抽象代数的基本概念之一，以挪威数学家尼尔斯·阿贝尔命名。阿贝尔群又被称为交换群或者加群，由自身的集合G和二元运算*构成，基本研究对象是模与向量空间，也分为有限阿贝尔群和无限阿贝尔群，无限阿贝尔群是目前研究的方向。

11 多项式时间：在计算复杂度理论中，指的是一个问题的计算时间{\displaystyle m(n)}不大于问题大小{\displaystyle n} 的多项式倍数。任何抽象机器都拥有一复杂度类，此类包括以多项式时间算法求解的问题。

12 离散对数：在整数中，是一种基于同余运算和原根的对数运算。而在实数中，对数的定义logba是指对于给定的a和b，有一个数x，使得bx=a。相同地，在任何群G中可为所有整数k定义一个幂数为bx，而离散对数logba是指使得bx=a的整数k。

13 莫德尔猜想（Mordell conjec-ture）：于1984年被法尔廷斯（Falt-ings, G.）证明，是关于算术曲线有理点的重要猜想。具体地，设k为有理数域的有限扩张，C为k上射影光滑（代数）曲线，若C的亏格大于1，则C只有有限多个k点（坐标在k中的点）。