牛顿-莱布尼茨公式：无穷小的秘密

4 牛顿-莱布尼茨公式：无穷小的秘密

如果没有微积分，英国的工业革命会推迟至少200年。

从芝诺的乌龟讲起

自芝诺提出著名的悖论以来，连续运动问题一直让世人困惑不已。

公元前464年，小短腿的芝诺乌龟到底是怎么跑赢了速度有它10倍的海神之子阿喀琉斯 1?

这场实力悬殊的竞赛，芝诺乌龟提前奔跑100m，如图4-1所示，当阿喀琉斯追到100m时，芝诺乌龟已经向前爬了10m ；阿喀琉斯继续追，而当他追完芝诺乌龟爬的10m时，芝诺乌龟又已经向前爬了1m ；阿喀琉斯只能再追向前面的1m，可芝诺乌龟又已经向前爬了 m。就这样，芝诺乌龟总能与阿喀琉斯保持一定距离，不管这个距离有多小，但只要芝诺乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远也追不上芝诺乌龟！最终，海神之子还是输给了芝诺乌龟。

芝诺乌龟也从此声名大噪，无人匹敌。尽管在现实世界中，这只乌龟看起来蛮不讲理，因为随便拉来一只乌龟，无论它跑多远，6岁小儿都能追上它。而且，随便建立一个简单的方程，还能求出阿喀琉斯追上芝诺乌龟的时间。

但在数学上，为什么“证明”不了快跑者能追得上慢跑者？

芝诺提出这个悖论，原本是想在“二分法”后补充说明运动是一种假象，假如承认有运动，而速度最快的永远都追不上速度最慢的，多么可笑？

这个芝诺乌龟悖论以空间、时间的无限可分为基础。阿喀琉斯在追上芝诺乌龟前必须走到空间的一半，在此之前，阿喀琉斯又必须先到达这一半的一半，如此类推，一直分割以至无穷，在出发点处就会出现一个无穷小量。

而当阿喀琉斯花费t时间到达第2个出发点时，芝诺乌龟又前进了，留下一段新的空间。一次次追赶，时间被无限分割，每一次所花时间越来越短，最后也变成了一个无穷小量。

按实践经验，这个无穷小量应该为0，因为只有这样，运动才能从起点开始，阿喀琉斯才能追上芝诺乌龟。但这个无穷小量又不能为0，因为无穷个0怎么可能构成一段距离或时间呢？

所以，空间与时间究竟能不能无限可分？无穷小量到底能不能等于0？

这样一个哲学矛盾，成就了数学上的一个著名悖论。

也许芝诺本意并非想要找数学的茬，但不管有心无心，他的悖论都在数学王国中掀起了一场轩然大波，让人们开始追究起数学的严谨性，甚至质疑起了数学的内部逻辑。

牛顿-莱布尼茨公式

那么，阿喀琉斯是不是永远都追不上芝诺乌龟？

当然不是。

芝诺狡猾地把时间和空间一直分割了下去，假装完美地证明了运动不存在。

他强行忽略了阿喀琉斯追芝诺乌龟的距离虽然有无限多个，但它们的“和”是一个有限的、确定的距离。相应地，他所用的时间间隔虽然也有无限多个，但“和”也是确定、有限的一段时间，现实中的阿喀琉斯总是在短时间内就追上了那只慢吞吞的乌龟。

这就是现代数学的微分 2与积分 3（主要是定积分）。

将时间和空间（距离）无限分割，无疑体现了无穷小量的思想，即微分的思想。而将这无限个小段以一定形式求和，得出一个确定的值，体现的恰好是定积分的定义。

从这个角度，我们可以说，对于芝诺乌龟悖论，芝诺只微分了，却没有积分。

微分和积分在历史上很长一段时间里是泾渭分明的两个领域，彼此毫无瓜葛。被芝诺这只“诡异”的乌龟刺激后，数学家们曾经前赴后继，苦苦钻研了无穷小量许久，但直到牛顿-莱布尼茨公式的出现，他们才真正把微分和积分联系起来。

这个以两位数学大师共同命名的公式，具体定义如下。

若函数f (x)在区间[a, b]上连续，且存在原函数F(x)，则。乍看平平无奇，可它却被誉为“微积分基本定理”。

在这个基本定理中，原函数与导数 4（又名微商）有着莫大的渊源。

在古典微积分世界里，微分是无穷小量的缩影，而导数则由两个无穷小量的比值幻化而成： 。函数 y= f (x) ，dy是y的微分， dx是x的微分，这也是导数被称为微分之商（微商）的缘由。几何图形对应的函数图像在某一点的导数是该函数图像在该点切线的斜率，如图4-2所示。

简单来说，对导数f (x)进行一个逆运算，就是求原函数F(x)。

对于一个定义在某区间的已知函数f (x)来说，如果存在可导函数F(x)，使在该区间内的任一点都有dF(x)=f (x)dx，则在该区间内就称函数F(x)为函数f (x)的原函数。

已知导数f (x)，求原函数F(x)，用微积分中的专业术语来说，就是求不定积分。不定积分与原函数是总体与个体的关系，若F(x)是f (x)的一个原函数，f (x)的不定积分就是一簇导数等于f (x)的原函数F(x)，即一个函数族{F(x)+C}，其中C是任意常数。

不定积分是原函数的一个集合。定积分是求函数f (x)在区间[a, b]上的图像包围的面积，它是给定区间上一种积分求和的极限，得出的结果是一个确定的数值。

不定积分与定积分原本毫不相干，但通过牛顿-莱布尼茨公式，当f (x)的原函数存在时，定积分的计算也可以转化为求f (x)的不定积分，即

至此，不定积分为解决求导和微分的逆运算而提出，而牛顿-莱布尼茨公式又将定积分和不定积分连接了起来，打开了一个连续变化的数量世界，将微分与积分统一了起来，揭示了微分与积分的基本关系：在一定程度上，微分与积分互为逆运算。

微积分诞生，并由此正式形成了一个完整体系，成为数学帝国里的一门真正学科。懊恼的阿喀琉斯也总算是攻破了时空连续性，追上了芝诺这只笨拙的乌龟。

谁是微积分之父？

恩格斯曾把17世纪下半叶微积分的发现视为人类精神的最高胜利，但对于微积分这片数学新大陆的发现者，数学界在很长一段时间里都一直争论不休。毕竟微积分让数学彻底掌握了连续变化的概念，而整个近现代科学都是关于变化的科学，发现微积分的功劳可不仅仅是让阿喀琉斯追上了芝诺乌龟这么简单。

微积分基本定理又称牛顿-莱布尼茨公式，以两人的大名命名，莫非是这两人一起发现了微积分？现实世界中的牛顿只比莱布尼茨大了三岁，两人一开始的确惺惺相惜，毕竟在17世纪找到和自己同等智商并能对话的人，对他们两个人来说都不容易。

这两人一开始隔着英吉利海峡鸿雁传书，在计算与逻辑的世界里交流得面红耳赤，在数学公式的相互解析里争论得高潮迭起。极少吹捧别人的牛顿称赞莱布尼茨“对数学的理解超越了同时代”，而莱布尼茨则称赞牛顿“从创世到现在全部数学中，牛顿的工作超过了一半”。

但好景不长，微积分的出现让17世纪两个伟大的科学家反目成仇，成为一生大敌。1684年，莱布尼茨发表论文阐述了新的概念——微积分，牛顿知道这个新的概念背后隐藏着多大的威力，而据他自己解释，他早在几年前就完整搭建好了微积分世界，只是怕被耻笑，所以一直没有率先发表。

这么重要的成就眼看就要被莱布尼茨抢走，牛顿利用自己的权力施展各种手段打压莱布尼茨。虽然莱布尼茨被称为“百科全书”式的伟人，智商高过阿尔卑斯山，但在玩权术的“手段”上远不是牛顿的对手。在那场微积分的世纪大战中，伟大的莱布尼茨曾一度被认为是骗子、小偷、盗窃犯的代名词。牛顿的下半生，除了钻研神学、沉迷“点石成金”之术外，唯一的爱好就是欺负莱布尼茨。

1716年11月14日，莱布尼茨因痛风逝世在秘书和车夫面前。那一天，牛顿正在伦敦庄园里享受烟熏火燎的炼金乐趣，并没有意识到西方有巨星陨落。

历史总是最优秀的见证人，时间总是最公正的裁判者。

一时的毁誉，姑且当作妄言。如今数学界已将牛顿和莱布尼茨同样视为微积分的发现人，并认为两人的发现彼此独立，不存在互相借鉴的情况，因为两人其实是从不同角度发现提出的。牛顿的发现是为了解决运动问题，其先有导数概念，后有积分概念；而莱布尼茨受哲学思想的影响，从几何学角度出发，先有积分概念，后有导数。两人实则殊途同归。

这一对冤家，不管他们生前多么不和，死后都被牛顿-莱布尼茨公式牢牢绑在了一起，再也无法分开。牛顿遗留的手稿的确证明了他更早发现了微积分，但大学课本上依旧沿用着莱布尼茨的微积分符号体系。

谁是微积分之父已经不重要，重要的是两人的伟大成果共同为人类所享用，给数学带来了一场伟大革命，推动着启蒙时代的学者们构建起了现代科学体系。

幽灵无穷小第二次数学危机

“对于数学，严格性不是一切，但是没有了严格性就没有了一切。”牛顿一生好斗，几乎从未输过，但他未曾料到，在他逝世后竟有人乘机揪起了他的“严格性”小辫子。

1734年，英国大主教贝克莱写了一本书，对当时的微积分一连发出67问，直捣微积分的基础，攻击的对象正是无穷小量在解释上所带来的致命“严格性”缺陷。

在古典世界里，牛顿他们赋予了导数和微分一种直观通俗的意义，导数是两个微小变量的比值：，dy和dx都是无穷小量。例如，在求函数y=x2的导数时，计算如下：

虔诚的基督徒贝克莱毫不客气地讽刺牛顿在处理无穷小量时简直是睁着眼睛说瞎话，第一步，把无穷小量dx当作分母进行除法（分母不能为0），并将分母dx约分；第二步，又把无穷小量dx看作0，以去掉那些包含它的项，+dx中的dx被直接忽略了。

所以，无穷小量究竟是不是0？

一会儿为0，一会儿又不能为0，这不是前后矛盾吗？不仅如此，在当时的人看来，无穷小量比任何大于0的数都小，却不是0，这不是违背了阿基米德公理吗？

阿基米德公理又称为阿基米德性质，也称实数公理，是一个关于实数性质的基本原理。如果阿基米德公理是错的，那么整个数学界大概都无法建立。其定义为：对任一正数ε，有自然数n满足。而无穷小量的解释似乎是在阐述“不存在自然数n满足。

这样一个被人诟病的无穷小量，真的能支撑起微积分这项伟大的成果吗？这个矛盾，史称贝克莱悖论，当时不少学者其实也认识到了无穷小量带来的麻烦。但是，这样一个悖论，不仅牛顿解释不清，莱布尼茨解释不清，整个数学界也没人能解释得清。

这样一个人为的概念，使数学的基本对象——实数结构变得混乱，数学界和哲学界甚至为此引发了长达一个半世纪的争论，它造成了第二次数学危机。

现代理论的特点之一就是“叙述逻辑清晰，概念内涵明确，不能有含糊，”而微积分的诞生并不是严格按照“逻辑线路”线性发展，而是通过实际应用归纳推理产生的，这就很难经得起演绎推理的逻辑推敲。所以，在牛顿和莱布尼茨之后，数学家们为此做出了无数努力，最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人解决了这个问题。

解决办法就是，抛却微分的古典意义，基于极限的概念，重新建立了微积分。

19世纪，法国数学家柯西确立了以极限理论为基础的现代数学分析体系，用现代极限理论说明了导数的本质，他将导数明确定义为一个极限表达式。

设函数y=f (x)在点f0的某邻域内有定义，令x=x0+∆x ， y∆ =f (x0+∆x)− f (x0 ) 。若极限lim∆x→0∆x∆y=lim∆x→0 f ( x0+∆∆xx)− f ( x0)= f′( x0)存在且有限，则称函数y=f (x)在点x0处可导，并称该极限为函数y=f (x)在点x0处的导数，记作 f′(x0) ；否则，则称函数y=f (x)在点x0处不可导。

极限的概念使数学家们对无穷小量的争议逐渐偃旗息鼓。直观、通俗的古典微分定义也被重新诠释，它不再局限于微小变量，在极限助攻下成了一个线性函数，用来表达函数的变化意义。

不过也有人抨击极限lim的模棱两可，但当“现代分析学之父”魏尔斯特拉斯用ε-δ语言一举克服了“limit困难”后，那些质疑的声音也都不再具有任何威慑力。

魏尔斯特拉斯为极限量身打造了一套精确完美的定义。

设函数f (x)在x0的某个“去心邻域 5”内有定义，则任意给定一个ε＞0，存在一个δ＞0，使得当时，不等式都成立，则称A是函数f (x)当x趋于x0时的极限，记成：

至此，第二次数学危机圆满度过。

那个一心想推翻整个微积分理论的顽固主教贝克莱，无论如何也想不到自己最终却促进了数学理论的发展，微积分也由此稳坐数学界的“霸主”地位。

结语伟大的数学革命

关于微积分的争夺战早已成为过眼云烟，但整个数学界和自然科学界的战火却从未停止，传说依然还在！

17世纪后，我们用微积分推广出了卷积 6、叠积的概念，从此有了无线电。

19世纪初，我们用微积分发明了傅里叶级数 7、傅里叶变换 8等概念，从此有了现代电子技术和通信技术。

随后，我们又用微积分发明了拉普拉斯变换 9，从此有了控制工程 10。

甚至连莱布尼茨都曾向他的保护人公爵夫人苏菲这样描述过微分方程：“我的女王，无穷小的用处无限广阔，我们可以用它来计算飘零落叶的轨迹，计算莱茵河畔竖琴声的和谐振动，计算你影子在夕阳下弯曲的度数……”

无论是在数学、工程，还是化学、物理、生物、金融、现代信息技术等领域，微积分一直风光无两， 它是现代科学的基础，是促进科技发展的工具。自从人类能够操控这把“刀”之后，数学史上无数难题被一斩而断。用微积分的方法推导演绎出的各种新公式、新定理，促成了后来一场场科学和技术领域的革命。

1 阿喀琉斯：又译阿基里斯，他是荷马史诗《伊利亚特》中描绘特洛伊战争第十年参战的半神英雄。海洋女神忒提斯（Thetis）和 英 雄 珀 琉 斯（Peleus）之子。

2 微分：设函数y=f（x）在区间I上有定义，对于I内一点x0，当x0有一个增量Δx （x0+Δx也在I内时），如果函数值的增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）可以表示成Δy=AΔx+o （ Δ x ），其中A是不依赖于Δx的常数， o（Δx）是Δx的高阶无穷小量（o读作奥秘克戎，希腊字母），则称函数f在点x0处可微，AΔx称为函数f在点x0相应于因变量增量Δy的 微 分，记 作dy， dy=AΔx，此时一般也记为dy=Adx。

3 积分：分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的正实值函数，一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上，由曲线、直线及轴围成的曲边梯形的面积值（是一种确定的实数值）。而求不定积分则是给定一个函数，求该函数的所有原函数的过程。

4 导数：当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限如果存在且为a，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。

5 去心邻域：在a的邻域中去掉a的数的集合，应用于高等数学。在拓扑学中，设A是拓扑空间(X,τ)的一个子集，点x∈A。如果存在集合U，满足U是开集，即U∈τ，点x∈U， U是A的子集，则称点x是A的一个内点，并称A是点x的一个邻域。

6 卷积：分析数学中一种重要的运算。在泛函分析中，卷积是通过两个函数f和g生成第三个函数的一种数学算子。

7 傅里叶级数：法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数。根据欧拉公式，三角函数又能化成指数形式，也称傅里叶级数为一种指数级数。

8 傅里叶变换：一种分析信号的方法，它可以分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。

9 拉普拉斯变换：工程数学中常用的一种积分变换，又称拉氏变换。其在许多工程技术和科学研究领域中都有广泛应用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统及随机服务系统等系统科学中都起着重要作用。

10 控制工程：一门处理自动控制系统各种工程实现问题的综合性工程技术，包括对自动控制系统提出要求（规定指标）、设计、构造、运行、分析、检验等过程。它是在电气工程和机械工程的基础上发展起来的。