N.1.4 等等……当真？
读者：等等……当真？这些新东西其实不是新的？
作者：嗯，那取决于“是”这个词的意义。我们迫使这个新东西不是新的，因为这样生活最轻松。真正的新东西一定有什么是新的，根据定义就是这样，而我们定义新东西时没有用什么新的，至少这次没有。
读者：我迷糊了。
作者：别。这里没什么迷糊的。
读者：好吧……那现在怎么办？
作者：我不知道。这取决于我们。我很喜欢“多变量微积分”的思想，我们就再在这里玩一下。
读者：好吧，我们还有什么没做的？
作者：（往回翻了一下）我们还没有研究吞进去两个东西吐出来一个东西的机器。
读者：是的。假设我们得到了一台机器吞进去x和y，吐出来m（x，y）。然后，嗯……我们怎么做？
作者：我不知道。对单变量微积分我们是怎么做的？
读者：我们将喂给机器的食物做了小小的改变，将它从食物变成了食物+d（食物）。
作者：嗯……这次我们有两个格子。食物是什么？喔！我有个主意……
（作者开始写着什么。）
读者：我想我们可以每次处理一个格子。这样我们就会有两个不同的导数。
作者：嗯？对不起，我没在听。我想我们可以将整个列表作为食物，然后记为v≡（x，y）。这样食物的微小变化就是“微小列表”之类的，管他什么意思，我们可以缩写为dv≡（dx，dy）。你刚才说什么？
读者：我是说我们可以每次选一个格子处理，这样我们就可以通过两个不同的路径“求导”，每次一个格子。
作者：噢！我更喜欢这个思想。别管我刚才说的——先试试你的。你说的两个不同的导数是什么意思？
读者：是这样，到现在我们处理新东西都不是做什么新的，而就是做原来的东西。因此这样怎么样：我们得到了机器m，吞进去x和y吐出来m（x，y）。首先，我想我们可以就把x作为食物，把y放到一边。我们让食物产生微小的变化，从x变成x+dx。然后，同以往一样，我们比较机器在之前和之后的输出，也就是研究d（输出）≡输出之后-输出之前，或者等同的
dm≡m（x+dx，y）-m（x，y）。
作者：等一下，你的意思是然后对y也做同样的处理，对吗？
读者：是的，怎么呢？
作者：我有点迷糊了，x换成y之后用什么缩写呢？
读者：我想我们可以写成dm≡m（x，y+dy）-m（x，y）……噢，我明白问题在哪了。两个缩写我都是用的dm。而根据我对它们的定义，它们其实是两个不同的东西。换一个缩写怎么样？写成这样：
dxm≡m（x+dx，y）-m（x，y），
dym≡m（x，y+dy）-m（x，y）。
作者：哦，好吧。这样清楚多了。
读者：然后我想我们可以定义m相对于x的导数为用dxm除以dx得到的东西，就像这样
然后我们可以定义m相对于y的导数为
作者：另外两种可能呢，dym／dx和dxm／dy？
读者：嗯，我不知道。我看不出这有什么意义。
作者：是吗？
（读者回顾了一下这一切是怎么定义的，想了一会。）
作者：哦！我明白了。你是对的。我们改变x的时候没有改变y，就好比我们往东走没有往北走。如果要将导数解释为常规的某种陡峭度，则我刚才写的这些东西就没有什么意义。这就好比用喜马拉雅山的“爬升”去除阿巴拉契亚山道上的“平移”。我想我们想写的话可以写dxm／dy这样的东西，但它并没有谈论什么有价值的东西，所以我们可以无视它。
读者：就这么办！然后呢？
作者：我不知道。我想我们已经做完了。
读者：做完了？
作者：我想是的。你用式（N.2）和（N.3）给出的定义告诉了我们如何求这些导数。而且还有！这个“新”思想也没什么新的！我的意思是说，“双变量机器”m（x，y）相对于x的导数就是我们假装y为7或52这样的常数时得到的东西，然后做原来的常规微积分！相对于y的导数也是同样的。
读者：等一下，为什么这么说？
作者：这就是你在式（N.2）和（N.3）中说的。我只是按你的说法。
读者：是的！这是不是意味着我们也可以对这些机器应用原来的导数锤子？我的意思是说，前面我们对“一进二出”机器应用了它们。但现在有两个不同类型的导数。我们还能以相同的方式用我们的锤子吗？怎么知道它们有没有效？
作者：它们必须有效！这些新思想就是原来的！
读者：好的，我知道这些新东西不新，但还是觉得新。
作者：不仅你觉得。对缩写稍作改变会让我们都很迷惑，也可能更清楚。人类思维就是这样可笑。我们做一些新的例子来让我们习惯这些旧思想吧。假设m（x，y）≡x2y+7y2-12xy+9。它的x导数是什么呢？
读者：我想
对吗？
作者：什么意思？
读者：什么什么意思？
作者：比如我们做常规微积分，你想对x2#+7#22-12#+9求导。你会担心答案对不对吗？
读者：不会。我对常规微积分更熟一些。或者，我的意思是，单变量微积分。
作者：那就是我们现在做的，记得吗？我们不用担心是不是在“做对的事情”，除非我们对单变量微积分没把握，因为这里没有别的。
读者：我的意思是，我知道这个。你已经说得我烦了——但我还是感觉到这个东西是新的。
作者：那再试一个例子。定义这些偏导数后我一直有点好奇。在第2章末尾，记得当时我们说导数能告诉我们哪里最高哪里最低吗？
读者：好像记得。也好像没有。不好说。
作者：不记得的话你回去翻一下。基本思想是机器的图形的最高点应该也是斜率为0的点。最低点也是一样。也有一些例外，不过先别管。就算我们画不出给定机器的图形，我们通常也还是可以找到最高或最低点。或者至少排除无穷多种可能，将范围缩小到有限多个数。
读者：这里我们能做到吗？
作者：这正是我想知道的。也许我们可以令两个偏导数都为0来找到最大和最小点。
读者：来试一下。怎么着手？
作者：我们先用我们知道最小值的简单例子试一下。比如m（x，y）≡x2+y2。当x和y都为0时，m吐出0，但平方项总是正的，因此它能吐出来的最小的数应该就是m（0，0）=0。
读者：哦，我想我明白了。根据我们对偏导数的定义，可以得到
如果我们令两者都等于0，
这也就是说x=0和y=0。嘿，成了！
作者：很好！对更复杂的情形行不行呢？
读者：我不知道。我们来试试m（x，y）≡（x-3）2+（y+2）2。同前面一样，这次是x=3和y=-2时吐出0。其他地方都大一些。我们再看会发生什么，将机器展开看数学能不能告诉我们最小值在哪里。
m（x，y）≡x2+y2-6x+4y+13， （N.4）
这还是同样的机器，只是将一切都乘开了，但这样写不容易看出来最小值在x=3和y=-2。
作者：等一下，为什么你要展开？仅仅是因为这样最小值不那么明显？
读者：因为只有当我们没有它就做不出来时做这些才有意义。我的意思是说，只有在我们从机器的表达式无法明显看出最大和最小的位置在哪里时，寻找这些位置的方法才是有价值的。而如果“令两个偏导数都等于0”技术真的有用，将它应用于我刚才在式（N.4）中写出的更让人迷惑的表达式时，它就应当能吐出x=3和y=-2。
作者：太对了！我们试一下！
读者：好的，取式（N.4）的两个偏导数，然后令它们等于0，得到
嘿！第一个等式只有在x=3时才成立，第二个只有在y=-2时才成立。成了！
作者：太棒了！现在你对这个更习惯了不？
读者：好点了，不过还是感觉很新。
作者：不新。
读者：我知道。我们能再举一个例子吗？
作者：当然。什么样的？
读者：这次用积分怎么样？比如
如果将y视为固定的数，比如7，那它的性质就应当同7一样。因此积分内部的这个东西的反导数就是M（x）≡
x3y72+yex+5x。现在我想我们可以应用基本锤子了。
作者：很好！成功了！
读者：不不不。我知道化简是人为构造的，但我还是想稍微整理一下。我的意思是，这里居然还有13。上面的东西就是……
然后我们可以找一个公分母——
作者：啥？！他们在学校教了你什么？我们已经做完了。
读者：好吧。毕竟是在学校里呆了多年，很容易强迫性地觉得应该“化简”。
作者：冲动没问题，只要那是你自己的冲动。我就很冲动！但不要把你自己的时间用于满足别人的冲动。否则，化简只会让事情更复杂。
读者：好吧，我想我们做完了。等一下，真做完了吗？积分里面还是有y。
作者：是的，有点奇怪。
读者：等一下——我想没问题。我们刚才计算了x=1和x=3之间机器m（x）≡x2y72+yex+5下面的面积。但我们让具体的数y保持未知，因此我们一次性做了无穷多个积分。我的意思是，每一个不同的y都会给我们一个不同的“单变量微积分”。例如，当y=1时，刚才的结果就告诉我们
而当y=0时，我们刚才得到的就是
我们没有限定过y是多少，因此在答案中展示一般性并不赖。我们就让y保持未知，这样我们就可以说“我们做了无穷多个积分”这样让人印象深刻的话。因为我们得到的其实是无穷多条语句：每个y对应一条。一些语句看起来有点吓人，比如式（N.5），一些则看起来更简单，比如式（N.6），它其实就是说高为5宽为3-1=2的矩形面积为10。对我们来说，y=0对应的语句比y=1对应的语句感觉更简单，但数学不关心这个。两者都是相同计算的结果。嘿，我想起来了。数学呢？
作者：我想还在寻找新家。我感觉上次的插曲耽误了搬家的进度。
读者：你做了什么？
作者：记得不？我当时着急干掉#。本来我们应当帮数学找新家的——某个它属于的地方，现在它存在了。现在它已经有了很多存在。生活在某个它不是……至少不是在日常意义上……不是很习惯的地方。虚空中没有实体的位置。因此我会暂停这里的对话。我们需要一些时间把这些事情理顺。
读者：等一下，难道说现在我们在做最糟糕的事情？
作者：什么意思？
读者：我们发明了更多的数学！这难道不是让事情更糟糕了吗？
作者：不不，我们没有发明新东西，记得吗？你放心。看一章的标题。我们不会对我们的朋友这样做的。