N.1.3 当我们不知道该怎么做的时候怎么办？

N.1.3　当我们不知道该怎么做的时候怎么办？

读者：如果对新的东西我们不知道该怎么做，我们又怎么做新的东西呢？

作者：我很肯定我不知道如何回答。

读者：为什么不知道？

作者：根据定义就是这样。

读者：那我们该怎么办？

作者：只有一个选择。

读者：是什么？

作者：别做新的东西。

读者：这似乎不是一个很聪明的想法。

作者：是不聪明！但可以试一试！

读者：怎么试？

作者：嗯，我们最初是怎么发明“导数”的？

读者：我们将第1章的斜率思想应用无限接近的两个点。

作者：怎么做到的？

读者：嗯，我们有机器m，喂给它某个食物x，它吐出m（x）。然后我们让食物有细微的变化dx，从x变为x+dx。我们把这个新的食物喂给机器，它吐出m（x+dx）。然后我们观察机器在之前和之后的表现差异，得到

d（输出）≡输出之后-输出之前，

或者换一种方式记为

dm≡m（x+dx）-m（x）。

作者：对了，那导数就是

我们就照这个来处理我们的新机器！

读者：行吗？

作者：怎么不行？我们先试试我们刚刚缩写的那些机器。

读者：先从哪个开始？

作者：我不知道，随你选。

读者：试一下m（x）≡（f（x），g（x））吧。如果行不通呢？

作者：别担心！我们先写出来再看行不行得通。如果行不通，我们再试别的。

读者：嗯……好吧。这样，我们定义m（x）≡（f（x），g（x））。然后如果用单变量情形同样的定义，我们可以写成

dm≡m（x+dx）-m（x）≡（f（x+dx），g（x+dx））-（f（x），g（x））。

读者：我搞不清了。我们不知道如何将两个列表相加或相减。怎么办？

作者：就做你能想到的最简单的事情。

读者：我能想到的最简单的事情是什么？

作者：我不知道。你自己想。

读者：好吧，我们不知道怎么将列表相加，但我们知道如何将数相加，因此如果要将两个列表相加，我们就一格一格地加，就像这样：

（a，b）+（A，B）≡（a+A，b+B）。

相减也是同样的处理。我想如果我们这样做，相加的新想法其实就是原来的想法。我们怎么才能知道这个能不能成呢？

作者：你就说，“成了！”

读者：成……了。

作者：哪，有底气一点，就好像你在捕鱼游戏里逮住了蝙蝠侠。

读者：成了！！！

作者：这样就对了！

读者：这不可能成啊。

作者：当然能！列表相加并不是什么“这个世界已经存在的”我们随便说会说错的东西。它是我们自己定义的，好让我们的生活更轻松。就像我们在插曲2中发明的幂一样。

读者：好吧。那我们接着来。刚才我们定义了列表的加和减，可以这样写

dm=（f（x+dx）-f（x），g（x+dx）-g（x）），

因此“导数”就是

读者：我又搞不清了。

作者：怎么呢？

读者：你看，我知道dx是一个很小的数，被某个东西除就是乘以1／某个东西，因此我猜可以这样写

但这样我们还是不清楚。我们不知道怎么用列表乘一个数。

作者：能不能就同刚才一样？

读者：好吧。我不知道怎么用列表乘一个数，但我知道怎么让数和数相乘，因此我想我们可以就把“数乘列表”定义为一格一格相乘，就像这样：

c·（x，y）≡（cx，cy）。

如果这样定义，我们就又可以继续了，我们可以这样写

因此我猜这些怪异新机器的导数就是原来每一格的导数。

作者：这没有我想的那么难。我们把这个写在方框里庆祝一下！

读者：你知道吗，你老是说这些新东西并不新，但我还是感觉不是很习惯。就是感觉太……新了。

作者：不新。

读者：是的，我知道，我们能不能举几个例子呢？

作者：当然。我们来求机器m（x）≡（2x，x3）的导数怎么样？

读者：好吧。嗯，根据我们刚才做的这些，我想导数应该是m'（x）=（2，3x2）。

读者：对不对？

作者：我怎么知道？你说得就好像是别的什么人已经发明了这个东西。好像它已经在哪个角落里一本盖满灰尘的书里面很久了。根据我们定义的列表加列表和列表乘数，我们刚才做的必须成立。你告诉我对不对。

读者：哦，我想是的。

作者：那就好！我们再举一个例子。设我们定义了一个新机器m为：

m（x）≡（x2+7x，e2x+H（x）），

怎么对它求导呢？

读者：嗯，根据我们刚才做的这些，列表的导数其实就是导数的列表，因此我想导数应该是

m'（x）=（2x+7，2e2x-V（x）），

这里我应用了重新缩写锤子来对e2x求导。另外我还回顾了前面，想起我们在第4章后面证明了dH'=-V。

作者：好的！让我们进入下一节——

读者：等一下。微积分不仅仅只有导数，对吗？我的意思是，“微积分”包含了我们能用无穷放大镜做的所有古怪的事情。先是导数，后来我们又产生了“积分”的思想，记得吗？

作者：哦，是的。但那其实就是相加，对吗？

读者：算是吧。我的意思是说，符号是我们对x=a和x=b之间曲线m下面的面积的缩写。而这个缩写是来自将其视为一大堆无限薄矩形的加总。因此∫有某种相加的意思在里面，但它并不完全感觉像相加。

作者：那又怎样？感觉是靠不住的。我会感觉到各种不正确的东西。它仍然还是加。

读者：那我们怎么对这些新机器积分呢？

作者：我不知道。试一下。

读者：好吧，假设我们想弄明白（f（x），g（x））dx这样的东西。dx就是无穷小的数，因此我想，根据我们对数乘列表的定义，我们可以将它写为（f（x）dx，g（x）dx）。

作者：而根据我们对列表相加的定义，+好可以放进去，因此我猜把∫放进去应该也可以，毕竟它也是相加。就像这样：

读者：那列表的积分其实就是两者积分的列表？

作者：我想是的！

读者：我们怎么才能知道对不对呢？

作者：同上次一样。我们不是在做数学。我们是在做，但不是那样做。你可以把这个论证当作“前数学”，如果这能让你更舒服的话。当我们在发明东西的时候，逻辑是反过来的。当我们在发明新思想的时候，我们会采用原来的思想，直到我们被困住。然后我们就会引入一些新的假设来让我们脱困。诀窍在于用尽可能少的假设来脱困。这样，我们最终发明的数学就会很“优雅”。而这并不是那种我们会对或错的论证。

读者：我还是很不习惯这样。能举些例子吗？

作者：当然！我们就把前面的例子反过来。比如我们得到了机器m（x）≡（2，3x2），m（x）从x=0到x=7的积分是多少呢？

读者：嗯，用我们刚才的发明，在应用基本锤子的地方标记，我想我们可以这样写：

读者：能提醒我一下73是什么吗？

作者：一个数。

读者：什么数？

作者：管他呢？就写作73吧。算术让人犯困。让我们关注思想。你刚才在求导数时是怎么想的？

读者：让我看看。我想我就是用的基本锤子和“列表的积分是积分的列表”这个事实。其他步骤就是重新缩写和算术。是这样吗？

作者：肯定是的！这些新思想并不新！

读者：是的是的，但那是很简单的例子。如果我们想不出某个格子的反导数怎么办？

作者：嗯，在常规微积分中如果我们想不出反导数是怎么做的？

读者：（翻回到第6章）我们可以用那三把反锤子中的一把重新表述问题。多变量微积分遇到困难时也能这样吗？

作者：当然。

读者：我们怎么知道它们还有效呢……哦，对了，这就是每个格子里的常规微积分。它们一定行。但如果试过了还是不行呢？接下来怎么办？

作者：还是同以前一样：放弃！对常规微积分我们永远也做不到能解决任何可以想到的问题。我们不是无所不知，永远也做不到。我们只能根据定义解决我们能解决的问题。如果用我们发明的工具无法解决问题，我们就没什么办法了，除非用头去撞，或者将它扫到地毯下面，等我们想的时候再回来。