N.2.4 用∂还是不用∂？缩写影响论证
在我们的多变量微积分之旅中下一个让人迷惑的标记是陌生的符号∂。前面我说过课本上用“偏导数”这个术语指称这样的表达式：
仔细看这个概念的标准标记会发现另一个第22条军规。事情是这样：在这两个式子的上面，你可以看到写dx和dy是多余的。你可能会想可以简化成
这样也不会混淆，因为两个表达式底下的dx和dy提醒我们是对m的哪个格子做微小的改变：左边是x格子，右边是y格子。这当然是对的。像式（N.13）那样让dx和dy的下标出现在导数中是多余的。那为什么最初我们要引入这些下标呢？是这样，我们最初引入标记dxm和dym是因为dm在式（N.14）中的两次出现实际上指的是不同的东西，你只要比较两个等式右边的上面就能看出来：在左边我们改变的是第一格，右边我们改变的是第二格。如果永远只处理导数，就没有必要写成dxm和dym。只要看导数下面就能明白是在对哪个变量做微小改变。大部分遇到这个标记选择问题的教科书都将式（N.13）写成下面这样：
比较我们的标记和他们的标记，可以得到
这种不同的写法也有它自己的利弊。好的一面是，它比我用的标记要漂亮得多，并且避免了下标x和y，当我们讨论导数本身时这些是多余的。不好的一面是，这个∂标记使得简单的无穷小论证更难了。接下来，我们用一个隐藏了简单思想的难看等式来解释为什么。在所有多变量微积分书籍中你都会看到等式
我们马上会推导这个等式，但是现在，我们先看看它有多么让人迷惑！这个可怕的等式包含6个像无穷小量的符号：dm、∂m、dy、∂y、dx和∂x。注意等式（N.16）并没有什么可以消掉从而化简的东西。疯狂的∂x与我们比较熟悉的dx长得不一样，因此不要以为我们可以用底下的∂x消掉dx。y也是一样，抵消是非法的，因为符号不一样。
现在虽然我们还没有推导它，但我还是忍不住告诉你等式（N.16）的滑稽秘密：如果正确解释，∂x和dx其实就是同一个东西！∂y和dy也是一样的。如果觉得这个还不够让人迷糊，我们还可以用这个事实让一些事情更糟糕。用∂x消掉dx，再用∂y消掉dy，我们会得到怪异的谬论：
后面我们会看到，这个等式其实是对的。不过，∂m+∂m并不等于2∂m！这并不是说算术定律在这里不成立。其实，在这个迷惑人的标记的不朽丰碑中，上面等式中这两个∂m其实指的是不同的东西！它们就是我们所说的dxm和dym，正是前面选择忽略（当时多余的）下标导致接下来所有这些让人头痛的标记。
为什么要用单个符号∂m表示两个不同的东西（dxm和dym）而同时又用两个不同的符号（∂x和dx）表示同一个东西呢？理由并不是非常疯狂。这是因为标准教科书通常不用无穷小论证。根据对这些思想通常的表现形式，大部分教科书虽然用到了导数，但并不用无穷小。但是对我们来说，对dxm和dym进行区分的好处是很明显的，因为它们不是同一个东西！课本上通常忽略下标，而他们的选择也有道理：如果我们只谈论导数，不涉及无穷小本身，dxm和dym的下标就总是多余的。
总而言之，在使用∂标记时，我们失去了单变量微积分的d标记的精髓：像操作数一样操作无穷小的能力。没有了这个，在推导时抵消它们和重排它们的顺序来进行推导就要困难得多。