N.3 符号游戏够了！我们如何才能画出这个？

N.3　符号游戏够了！我们如何才能画出这个？ N.3.1　多维思维诀窍

人类心智无法直接形象化思维超过三维的事物，但你也不用放弃更高维的数学直觉。构想四维、十维甚至无穷维的空间并不需要魔术般的能力。如果你感觉这有点矛盾，请再读一遍。有一个诀窍，在多变量微积分中我从未听人讲过：绝大多数数学家就是通过（反复）描绘三维空间来构想n维空间！

听起来可能有点滑稽，但这是真的。任何课堂上都不会明确教这个，这是无数学生通过观察上一代数学家推理解答问题的过程不断传承下来的。我曾多次向极为聪明的数学家提出高维问题，然后观察他们：想一会儿，意识到自己无法直接通过思维推理出答案，走到黑板前，画出二维或三维对象的二维图形，通过这样，找到问题的答案！我已记不清有多少次见过这种情形，涉及的问题从四维（黎曼几何和广义相对论）到无穷维（泛函分析和量子力学）。

思考二维或三维可能无法帮助我们形象化思维n维，但肯定能帮助我们对n维进行推理。能够亲身体验一下这种感觉是最好的。在这一节的下一部分，我们会尝试用三维形象化直觉推导关于n维微积分的事实。在下一节，我们会针对双变量机器m（x，y）发明公式

这样做之后，我们应当马上就能看出为什么这个表达式更一般的形式，即

对n变量的机器m（x1，x2，…，xn）成立。在熟悉了这些等式后，同以往一样，我们很快会认识到，一个简单的缩写变化是如何改变一切的。