N.5 整合
我们花点时间提醒一下自己这一章做了些什么。
1.我们从对话开始，作者坦白他感觉自己对这个主题不是很公平。不过，这一章还是为我们前往要去的地方架设了一座桥梁。
2.这使得我们进入了多变量微积分的概念源头之旅，在那里——
数学：多变量微积分是什么？
读者：嘿，你不能来这里。
作者：是的，数学。你还想不想让我们结束这一章？
数学：我要你回答我。多变量微积分是什么？这是你们趁我不在的时候发明的我的新部分？
作者：要么你趁我们完工的这段时间去读一下这一章？
数学：……好吧。
（数学开始往回翻读这一章。）
作者：就像我说的，我们游览了多变量微积分的概念源头，我们看到它的许多定义都源自从旧思想建立新思想的渴望。
3.我们尝试对形为m（x）≡（f（x），g（x））的机器进行了求导，做法和单变量微积分是一样的。结果我们困住了，但我们发现如果将列表的相加定义为逐格相加就能脱困：（a，b）+（A，B）=（a+A，b+B）。脱困之后，我们又被困住了。为了再次脱困，我们将数与列表相乘定义为逐格相乘：
c·（x，y）=（cx，cy）。
作了这两个选择后，我们发现
这表明新的“一进二出”机器只需对每一格应用熟悉的单变量微积分就可以求导。
4.对于“一进n出”机器
m（x）≡（f1（x），f2（x），…，fn（x）），
我们发现也有相似的做法。
5.因此，我们发现计算导数的所有锤子都可以适用于这个新的多变量世界。
6.我们发现相似的做法对积分也成立。即
同前面一样，只需对每一格执行单变量微积分的类似操作就可以。
7.因此，我们发现计算积分的反锤子都可以应用于这个新的多变量世界。
8.然后我们转向了“二进一出”机器。我们发现可以定义两个不同的导数，每个输入格子一个。课本上称它们为“偏导数”。这些偏导数其实又是单变量微积分。例如，相对于x的偏导数就是假装除x之外的所有变量都为常数，然后以熟悉的方式计算导数得到的东西。
9.我们发现相似的做法对“n进一出”机器也成立。
10.应用无穷放大镜和一些简单的图形化推理，我们推导出了公式
以及它的n维推广
11.在这一章，每当我们遇到一个新的思想，我们就会发现它根本不是新思想，而只不过是旧思想的延伸，再加上一些偶然的无足轻重的变化使得一切有意义。
作者：好了，数学。你心情好点没有？
（数学还在读着这一章，没有听到作者。）
作者：数学！
数学：啊！你吓到我了。
作者：我写“完”这一章了。其实我对它不是很满意。太可怕了。看到那些符号了吗？不管怎样，我们做完了。你感觉理解了这一章没有？
数学：嗯，我只大概浏览了一遍。你们看我理解得对不对：我们同以往一样做微积分，但是现在我们的积分和求导是作用于古怪的新型机器，比如吃进去一个数吐出来一个向量，或者吃进去一个向量吐出来一个数之类的？
读者：对的。基本就是这些。没什么新东西。
数学：如果我没理解错的话，这些“向量”本身也是机器，对吗？
作者：什么？不对！好吧，等一下。我们要对整合进行结尾了，这次似乎久了一点。你们俩跟着我跳到下一个插曲去。
（作者用力关上门，离开了这一章。）