重解

重解

作者：（对数学说）请继续！

数学：噢，我想我刚才迷糊了。我来不及细看这一章。我错误地将向量

v≡（v1，v2，v3）≡（3，7，4）

理解成了机器，喂给它1会吐出v（1）≡3，喂给它2会吐出v（2）≡7，喂给它3会吐出v（3）≡4。要是这样，这会是一种很好玩的机器，因为通常我们的机器可以吞进去任何数，这种新机器v只能吞进去1，2或3，因此它的可能食物集是集合{1，2，3}而不是连续的数集。我想这就是为什么我会迷糊。

作者：等一下，我认为你没有迷糊。你的论证意味着我们必须承认向量也可以视为特殊的机器类型。如果我们不承认这一点，我们就只能承认我们不能随心所欲地缩写，因为你的论证需要的只是一个微不足道的重新缩写。

读者：也就是说数学没有迷糊？

作者：是的。而且我认为同样的论证反过来也成立。可以说必须成立。整个论证只不过就是一个小小的缩写变化。因此，不仅向量可以视为机器，机器也可以视为向量。

数学：什么意思？

作者：是这样，以m（x）≡x2这样的机器为例。如果愿意的话，我们可以将它视为一列数字。我的意思是，不是一格两格三格这样下去的一列，而是连续的无穷格子的向量，每格一个数。

读者：哦！我想我明白了。这样m（x）≡x2就可以视为数字9位于标记为3的格子的向量，因为m（3）≡9。格子必须用整数标记吗？

作者：我不认为必须。例如，m（#）=#2，因此m在标记的格子里有，在标记#的格子里有#2。

数学：就像我将vi变成v（i）一样，我们反过来也可以将m（3）=9写成m3=9？

作者：当然可以！我们并没有真的在做什么。这只不过就是改变标记。

数学：但这两种缩写可以互换只可能是因为这两个概念需要的描述信息的类型是一样的。

作者：我想是的。我的意思是，没理由认为只能写成m（x）≡x2不能写成mx≡x2。

数学：因此向量就是机器，机器就是向量？

作者：必须是这样！毕竟，这两个概念的性质是一模一样的。我们只是一开始没有意识到。我们将有n个格子的向量视为n维空间中的点，因此我们形成了适合这种解读的缩写。现在虽然这些缩写没有什么错，它们却没有明显体现出向量其实就是一种机器，反过来也是一样。这两个概念在逻辑上是等同的，只不过我们采用的标记使得它们没有在心理上等同，因此我们错过了这两种思想背后的统一性！

数学：但它们到底是什么呢？是机器其实是向量，还是向量其实是机器？

作者：我不认为必须二选一。这些东西并没有隐藏什么能够欺骗我们的本质。这个东西是我们自己发明的。并没有什么看起来像向量其实是机器的东西，反过来也一样。

读者：但这是不是太随意了？我的意思是，像m（x）≡x2这样的机器看起来就像机器，虽然我们可以把它视为向量。难道你认为它既是机器也是向量？

作者：当然！而且如果我们不愿意承认这一点，我们就前后不一致。因为最初，我们的世界中唯一的数学“定律”就是：我们可以随心所欲地缩写。这意味着我们定义事物时只能根据它们的性质而不是它们是什么。并且这个肯定也是数学家都如此热衷于用公理定义他们研究的对象的原因。在每一个数学分支，他们最初选择定义的方式其实一直都是受这个秘密的潜定律驱动：数学对象不是符号。我们研究的不仅仅是纸上的这些弯扭符号。如果没有哪个特别的缩写选择是神圣的，那么自然而然公理方法和与之有关的一切就都是“定义仅取决于同态”！只能是这样。如果不是这样，我们就违背了数学的唯一律法：我们不得不认为，某些缩写集具有内在的特殊性。

读者：嘿，嗯，你在说大话，我有个问题。既然（3，7，4）这样的向量可以视为三维空间中的点……既然n维向量可以视为n维空间中的点……那我们能不能将m（x）≡x2这样的机器视为“无穷维空间中的点”？

作者：我认为可以。

数学：那就太漂亮了！我们能为此专写一章吗？

作者：当然！我们必须搞清楚它。

读者：我们一直以来做的不就是这个吗？

作者：啊哈！我想是的。这很有意思！来吧，我们继续！

……

（作者意识到了什么，陷入了沉默。

在其他人跳进下一章的时候，

他决定留在后面重温一下这个插曲。）

……

作者：……

读者：……嗨！

作者：（吓了一跳）哦！我还以为你走了。你不会也是来重温这个吧？

读者：不是。怎么啦？

作者：没什么。

读者：说真的，有什么问题吗？

作者：没有没有，没问题……只是刚才打断了……

读者：打断了什么？

作者：嗯，只是……下一章没有对话了……后面也没有其他章节了……所以，我意识到……我不知道还能不能，你知道的……再……见到你。

读者：哦。

作者：是的。

读者：干嘛不增加一个最后章节呢？

作者：我有这个打算。不是真正的一章或插曲。更像是……插章。不过，我对这个的感觉相当怪异。谁知道到时候会怎么样呢。而且不管怎样，里面也不会有数学。那些都在第章，也就是下一章。因此我意识到……就算我们还能再见一次面……以后也没机会了。数学。那将是我们最后一次。

读者：哦……我明白了。

作者：我直到写完这个插曲……才意识到。

读者：你不是还在写吗？

作者：不是。我这么做只是为了和你聊天。这不是为这本书写的。

读者：什么？为什么？

作者：我不想改变那一节的氛围。你……他们……解读都是错的。有时候你不得不隐瞒一些东西。

读者：对谁隐瞒？

作者：对你！为了这本书！为了叙述得好。

读者：那你为什么又要……你知道的……披露这些呢？

（作者叹气。）

作者：等这本书结束了我会非常想念你的。